Question

15．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD．
（2）若$cos∠BAD=\frac{1}{5}$，求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥平面BEFD，利用面面垂直的判定定理证明平面ACF⊥平面BEFD；
（Ⅱ）求出AB长，利用体积公式求几何体的体积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，
∴AC⊥平面BEFD，
∴平面ACF⊥平面BEFD；
（2）解：设AC与BD的交点为O，AB=a（a＞0），
由（1）得AC⊥平面BEFD，
∵BE⊥平面ABCD∴BE⊥BD，
∵DF∥BE，∴DF⊥BD，
∴BD²=EF²-（DF-BE）²=8，∴$BD=2\sqrt{2}$
∴${S_{四边形BEFD}}=\frac{1}{2}（{BE+DF}）•BD=3\sqrt{2}$，
∵$cos∠BAD=\frac{1}{5}$，∴$B{D^2}=A{B^2}+A{D^2}-2AB•AD•cos∠BAD=\frac{8}{5}{a^2}=8$
∴$a=\sqrt{5}$，
∴OA²=AB²-OB²=3，∴$OA=\sqrt{3}$
∴${V_{ABCDEF}}=2{V_{A-BEFD}}=\frac{2}{3}{S_{四边形BEFD}}•OA=2\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．