Question

10．已知函数f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在$[{\frac{1}{2}，1}]$上的最小值；
（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0时，求出导函数的零点-$\frac{1}{2a}$，1，分-$\frac{1}{2a}$＞1，$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2a}$≤1，-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，讨论函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；
（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t后构造函数g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$（t＞1），根据函数的单调性判断不成立．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
∴f′（x）=2ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x₁=-$\frac{1}{2a}$，x₂=1，
①当-$\frac{1}{2a}$＞1，即-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值为f（1）=1-a．
②当$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2a}$≤1，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$时，
f（x）在[$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2a}$]上是减函数，在[-$\frac{1}{2a}$，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$+ln（-2a）．
③当-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜-1时，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$a+ln2．
综上，函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值为：
f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}a+ln2，a＜-1}\\{1-\frac{1}{4a}+ln（-2a），-1≤a≤-\frac{1}{2}}\\{1-a，-\frac{1}{2}＜a＜0}\end{array}\right.$；
（3）设M（x₀，y₀），则点N的横坐标为x₀=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$，
直线AB的斜率k₁=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}-x}_{2}}$[a（x₁²-x₂²）+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]
=a（x₁+x₂）+（1-2a）+$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
曲线C在点N处的切线斜率k₂=f′（x₀）=2ax₀+（1-2a）-$\frac{1}{{x}_{0}}$=a（x₁+x₂）+（1-2a）-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k₁=k₂，
即 $\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
∴ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{{x}_{2}-x}_{1}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，
不妨设x₁＜x₂，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t＞1，则lnt=$\frac{2（t-1）}{1+t}$，
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$（t＞1），则g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{（1+t）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（1+t）}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，
∴g（t）＞0，即lnt=$\frac{2（t-1）}{1+t}$不成立，
∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．