Question

18．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：-a₃，a₂，a₄成等差数列．
（1）若a₁=1，求{a_n}的前n项和S_n
（2）若b_n=log₂a_2n+1，且数列{b_n}的前n项和T_n=n²+3n，求a₁．

Answer 1

分析 （1）只需要根据：-a₃，a₂，a₄成等差数列建立方程求出公比，再代入等比数列的求和公式即可，
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，再利用等差数列的求和公式求出T_n，利用已知条件建立方程即可求出a₁．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，由条件可知q＞0，
由-a₃，a₂，a₄成等差数列，
∴2a₂=-a₃+a₄，
∴2=q²-q，
解得q=2或q=-1（舍去），
又a₁=1，
∴{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1；
（2）由（1）可知，a_n=a₁•2^n-1，
则b_n=log₂a_2n+1=2n+log₂a₁，
∴T_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$+nlog₂a₁=n²+3n
∴log₂a₁=2，
∴a₁=4

点评 本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查学生的计算能力以及逻辑推理能力．