Question

6．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（a_n-1）（a_n+2）．
（1）求证：不论λ取何值，数列{a_n+λa_n+1}总是等差数列，并求此数列的公差；
（2）设数列$\{\frac{{（n-1）•{2^n}}}{{n{a_n}}}\}$的前n项和为T_n，试比较T_n与$\frac{{{2^{n+1}}（18-n）-2n-2}}{n+1}$的大小．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=n+1，再由等差数列的定义即可得证，且得公差；
（2）求得$\frac{{（n-1）•{2^n}}}{{n{a_n}}}=\frac{{（n-1）•{2^n}}}{n（n+1）}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}-\frac{2^n}{n}$，运用裂项相消求和可得T_n，再由作差法，讨论n的范围，即可得到大小关系．

解答 （1）证明：当n=1时，2a₁=2S₁=（a₁-1）（a₁+2），
∵a₁＞0，∴a₁=2．
n=2时，2S₂=（a₂-1）（a₂+2）=2（2+a₂），
解得a₂=3．
当n≥2时，$2{a_n}=2（{S_n}-{S_{n-1}}）={a_n}^2-{a_{n-1}}^2+{a_n}-{a_{n-1}}$，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n+1；
∵（a_n+1+λa_n+2）-（a_n+λa_n+1）=（a_n+1-a_n）+λ（a_n+2-a_n+1）=1+λ，
∴不论λ取何值，数列{a_n+λa_n+1}总是等差数列，且此数列的公差为1+λ．
（2）解：∵$\frac{{（n-1）•{2^n}}}{{n{a_n}}}=\frac{{（n-1）•{2^n}}}{n（n+1）}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}-\frac{2^n}{n}$，
∴${T_n}=\frac{2^2}{2}-\frac{2}{1}+\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}+…+\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}-\frac{2^n}{n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}-2$，${T_n}-\frac{{{2^{n+1}}（18-n）-2n-2}}{n+1}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}-2-\frac{{{2^{n+1}}（18-n）-2n-2}}{n+1}=\frac{{{2^{n+1}}（n-17）}}{n+1}$，
当n＜17且n为正整数时，$\frac{{{2^{n+1}}（n-17）}}{n+1}＜0$，∴${T_n}＜\frac{{{2^{n+1}}（18-n）-2n-2}}{n+1}$；
当n=17时，$\frac{{{2^{n+1}}（n-17）}}{n+1}=0$，∴${T_n}=\frac{{{2^{n+1}}（18-n）-2n-2}}{n+1}$；
当n＞17且n为正整数时，$\frac{{{2^{n+1}}（n-17）}}{n+1}＞0$，∴${T_n}＞\frac{{{2^{n+1}}（18-n）-2n-2}}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的定义的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．