Question

18．（x-y）（x+2y+z）⁶的展开式中，x²y³z²的系数为（　　）

• A． -30
• B． 120
• C． 240
• D． 420

Answer 1

分析 （x+2y+z）⁶的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$（2y）^6-r（x+z）^r=2^6-r${∁}_{6}^{r}$y^6-r（x+z）^r，（x+z）^r的展开式的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$x^r-kz^k．可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：2^6-r${∁}_{6}^{r}$y^6-r•${∁}_{r}^{k}$x^r-kz^k．通过分类讨论即可得出．

解答 解：（x+2y+z）⁶的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$（2y）^6-r（x+z）^r=2^6-r${∁}_{6}^{r}$y^6-r（x+z）^r，
（x+z）^r的展开式的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$x^r-kz^k．
可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：2^6-r${∁}_{6}^{r}$y^6-r•${∁}_{r}^{k}$x^r-kz^k．
令r-k+1=2，6-r=3，k=2，或r-k=2，6-r+1=3，k=2．
解得k=2，r=3．或k=2，r=4．
∴x²y³z²的系数为${2}^{3}{∁}_{6}^{3}{∁}_{3}^{2}$-${2}^{2}{∁}_{6}^{4}{∁}_{4}^{2}$=120．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．