Question

19．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是3．

Answer 1

分析 设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知，$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{4}$，整理求得 y=$\frac{12-4x}{3}$，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．

解答 解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{4}$，
即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，
所以4x=12-3y，y=$\frac{12-4x}{3}$，
求xy最大，也就是那个矩形面积最大．
xy=x•$\frac{12-4x}{3}$=-$\frac{4}{3}$（x²-3x），当x=$\frac{3}{2}$时，xy有最大值3．
故答案为3．

点评 本题主要考查了解三角形的问题．考查了学生转化和化归思想，函数思想的运用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．