Question

8．已知函数$f（x）=\frac{x-1}{x+1}$，x∈[1，3]
（1）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．
（2）求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可；（2）判断出函数的单调性求出函数在闭区间的最值即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$．
设x₁，x₂是区间[1，3]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$1-\frac{2}{{{x_1}+1}}-1+\frac{2}{{{x_2}+1}}$
=$\frac{2}{{{x_2}+1}}-\frac{2}{{{x_1}+1}}=\frac{{2（{x_1}+1）-2（{x_2}+1）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$
=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．
由1≤x₁＜x₂≤3，得x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函数$f（x）=\frac{x-1}{x+1}$是区间[1，3]上的增函数．
（2）由（1）得：函数$f（x）=\frac{x-1}{x+1}$在区间[1，3]的两个端点处分别取得最小值与最大值，
即在x=1时取得最小值，最小值是0；在x=3时取得最大值，最大值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数单调性的证明，是一道中档题．