Question

16．已知函数f（x）=x²-ax+21n x．
（1）若函数y=f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）有两个极值点x₁，x₂，若x₁∈（0，$\frac{1}{e}$]，且f（x₁）≥t+f（x₂）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为2x²-ax+2≥0在（0，+∞）恒成立，分离参数，求出a的范围即可；
（2）求出f′（x），根据f（x）有两个极值点x₁，x₂，可以确定x₁，x₂为f′（x）=0的两个根，从而得到x₁x₂=1，可以确定x₂＞1，求解h（x₁）-h（x₂），构造函数u（x）=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2lnx²，x≥1，利用导数研究u（x）的取值范围，从而求出t的范围．

解答 解：（1）f′（x）=2x-a+$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-ax+2}{x}$，（x＞0），
若函数y=f（x）在定义域上单调递增，
则2x²-ax+2≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤2（x+$\frac{1}{x}$），而x+$\frac{1}{x}$的最小值是2，
故a≤4；
（2）∵f（x）=x²-ax+2lnx，
∴h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-ax+2}{x}$，（x＞0），
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴x₁，x₂为f′（x）=0的两个根，即2x²-ax+2=0的两个根，
∴x₁x₂=1，
∵x₁∈（0，$\frac{1}{e}$]，且ax_i=2x_i²+1（i=1，2），∴x₂∈[e，+∞），
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-ax₁+2lnx₁）-（x₂²-ax₂+2lnx₂）
=（-x₁²-1+2lnx₁）-（-x₂²-1+2lnx₂）
=x₂²-x₁²+2ln $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=x₂²-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$-2lnx₂²，（x₂＞1），
设u（x）=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2lnx²，x≥e，
∴u′（x）=$\frac{{2{（x}^{2}-1）}^{2}}{{x}^{3}}$≥0，u（x）在[e，+∞）递增，
∴u（x）≥u（e）=e²-$\frac{1}{{e}^{2}}$-4，
∴t∈（-∞，e²-$\frac{1}{{e}^{2}}$-4]．

点评 本题考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，函数在某点取得极值的条件．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于难题．