Question

17．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=AB=2DC=2，点E、F分别在线段DC、AB上，设$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CF}$的最小值为-$\frac{33}{8}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$，计算$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CF}$得出关于λ的二次函数，利用二次函数的性质和λ的范围得出最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$+$λ\overrightarrow{AB}$=（$λ-\frac{1}{2}$）$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，
∵AD⊥AB，AD=AB=2DC=2，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=（$\overrightarrow{AD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$）•[（$λ-\frac{1}{2}$）$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$]=$\frac{2{λ}^{2}-λ}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AD}}^{2}$=2λ²-λ-4=2（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{33}{8}$，
∴当λ=$\frac{1}{4}$时，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$取得最小值-$\frac{33}{8}$．
故答案为：-$\frac{33}{8}$．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，数量积运算，属于中档题．