Question

7．某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．
（1）请把频率直方图补充完整；
（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设在区间[0，30）上，$\frac{频率}{组距}$=a，由频率分布直方图的性质求出a=$\frac{1}{210}$，由此能补充完整频率分布直方图．
（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．不能运行发电机的概率为$\frac{1}{7}$，恰好运行一台发电机的概率为$\frac{3}{7}$，恰好运行二台发电机的概率为$\frac{2}{7}$，恰好运行三台发电机的概率为$\frac{1}{7}$，分别求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望，由此得到要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．

解答 解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为$\frac{156}{364}=\frac{3}{7}$，（1分）
$\frac{频率}{组距}$=$\frac{3}{7×30}$=$\frac{1}{70}$，（2分）
设在区间[0，30）上，$\frac{频率}{组距}$=a，
则（a+$\frac{1}{70}+\frac{1}{105}+\frac{1}{210}$）×30=1，
解得a=$\frac{1}{210}$，（3分）
补充频率分布直方图如右图所示．（6分）
（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为$\frac{1}{7}$，
恰好运行一台发电机的概率为$\frac{3}{7}$，恰好运行二台发电机的概率为$\frac{2}{7}$，
恰好运行三台发电机的概率为$\frac{1}{7}$，
①若安装1台发电机，则Y的值为-500，4000，其分布列为：

Y	-500	4000
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{6}{7}$

E（Y）=-500×$\frac{1}{7}$+4000×$\frac{6}{7}$=$\frac{23500}{7}$．（8分）
②若安装2台发电机，则Y的值为-1000，3500，8000，其分布列为：

Y	-1000	3500	8000
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$

E（Y）=-1000×$\frac{1}{7}$+3500×$\frac{3}{7}$+8000×$\frac{3}{7}$=$\frac{33500}{7}$．（10分）
③若安装3台发电机，则Y的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为

Y	-1500	3000	7500	12000
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$

E（Y）=-1500×$\frac{1}{7}$+3000×$\frac{3}{7}$+7500×$\frac{2}{7}$+12000×$\frac{1}{7}$=$\frac{34500}{7}$，
∵$\frac{34500}{7}＞\frac{33500}{7}＞\frac{23500}{7}$，
∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．