Question

15．在如图所示的空间几何体中，边长为2的正三角形ABC所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE内的射影为∠AEB的平分线且DE与平面AEB所成的角为60°，DE=2．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OE，以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD⊥平面ABC．
（Ⅱ）求出平面ABE的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OE，
∵△ABC与△ABE均为边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面ABE，
∴CO⊥平面ABE，∴CO⊥AO，CO⊥OE，
又OE⊥AO，
∴以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），B（-1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，$\sqrt{3}$，0），O（0，0，0），
又ED在平面ABE内的投影为∠AEB的平分线，且DE于平面ABE所成角为60°，DE=2，
∴D（0，$\sqrt{3}-1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（0，$\sqrt{3}-1，0$），$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{OA}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{OC}$=0，
∴CD⊥OA，CD⊥OC，
又OA∩OC=O，∴CD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵OC⊥平面ABE，∴取$\overrightarrow{OC}$=（0，0，$\sqrt{3}$）为平面ABE的法向量，
设平面BED的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BD}=（1，\sqrt{3}-1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BE}=（1，\sqrt{3}，0）$，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+（\sqrt{3}-1）y+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}，1$），
设二面角A-BE-D的平面角为θ，则有：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角A-BE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．