Question

10．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）x，x≥2}\\{（{\frac{1}{6π}∫}_{-2}^{2}\sqrt{4-{t}^{2}}dt）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，a_n=f（n）（n∈N^*），若数列{a_n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（-∞，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 计算定积分，求出f（x）的解析式，令$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜0}\\{f（1）＞f（2）}\end{array}\right.$解不等式组得出a的范围．

解答 解：由定积分的几何意义可知：${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{t}^{2}}$dt=$\frac{1}{2}$π×2²=2π，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）x，x≥2}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，
∴a₁=f（1）=-$\frac{2}{3}$，n≥2时，a_n=f（n）=（a-3）n，
∵数列{a_n}是单调递减数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}＞2（a-3）}\\{a-3＜0}\end{array}\right.$，解得a＜$\frac{8}{3}$．
故答案为：（-∞，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了定积分的计算，数列单调性的判断，属于中档题．