Question

12．已知向量$\overrightarrow m=（f（x），2cosx），\;\;\overrightarrow n=（sinx+cosx，1）$且$\overrightarrow m\;\;∥\;\;\overrightarrow n$．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若函数f（x）的图象向下方平移1个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象．求函数g（x）在$x∈[0，\frac{π}{8}]$上的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的结论，可得函数f（x）的解析式．
（2）利用图象变换，求出g（x），再求函数g（x）在$x∈[0，\frac{π}{8}]$上的最大值及相应的x值．

解答 解：（1）由题意，f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1；
（2）若函数f（x）的图象向下方平移1个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
$x∈[0，\frac{π}{8}]$，则4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴函数g（x）在$x∈[0，\frac{π}{8}]$上的最大值为$\sqrt{2}$，此时x=$\frac{π}{16}$．

点评 本题考查向量平行结论的运用，考查图象变换，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．