Question

9．设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和S_n满足S_n=$\frac{1}{6}$（${a_n}^2$+3a_n-4），则S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}n$．

Answer 1

分析 先跟怒递推公式求出a₁，再利用相减法求出{a_n}是以4为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的前n项和公式即可求出．

解答 解：当n=1时，$6{S_1}={a_1}^2+3{a_1}-4$，
即${a_1}^2-3{a_1}-4=0$，得a₁=4或a₁=-1（舍）．
由题意得：$6{S_{n+1}}={a_{n+1}}^2+3{a_{n+1}}-4$…①$6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}-4$…②
①-②得：$6{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=3，
∴{a_n}是以4为首项，3为公差的等差数列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1．
∴${S_n}=\frac{n（4+3n+1）}{2}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{5}{2}n$，
故答案为：$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}n$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．