Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，则它的对称中心为

(

1

2

，1)

；计算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=

2012

．

Answer 1

分析：①由于f（x）=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，由f″（x）=0可求得x=

1

2

，f（

1

2

）=1；
②设P（x₀，y₀）为曲线上任意一点，由于函数f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

的对称中心为 (

1

2

，1)，故点P关于(

1

2

，1)的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，于是有f（1-x₀）=2-y₀．从而可求值．

解答：解：①∵f（x）=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，
∴f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，
由f″（x）=0得x=

1

2

，
f（

1

2

）=

1

8

-

3

2

×

1

4

+3×

1

2

-

1

4

=1；
∴它的对称中心为(

1

2

，1)；
②设P（x₀，y₀）为曲线上任意一点，
∵曲线的对称中心为 (

1

2

，1)；
∴点P关于(

1

2

，1)的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，
∴f（1-x₀）=2-y₀．
∴f（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=[f(

1

2013

)+f(

2012

2013

)]+[f(

2

2013

)+f(

2011

2013

)]+…+[f(

1006

2013

)+f(

1007

2013

)]=2×1006=2012．
故答案为：(

1

2

，1)；2012．

点评：本题考查实际问题中导数的意义，难点在于对“对称中心”的理解与应用，特别是：f（x₀）+f（1-x₀）=2的分析与应用，属于难题．