Question

6．（Ⅰ）化简$\frac{{tan（\frac{π}{4}+α）•cos2α}}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-α）}}$；
（Ⅱ）已知点P（cosθ，sinθ）在直线y=-2x上，求$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先切化弦，再由同角三角函数关系式，倍角公式及诱导公式即可化简求值．
（Ⅱ）由题意得tanα的值，利用倍角公式，同角三角函数关系式化简后代人即可求值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）原式=$\frac{{\frac{{sin（\frac{π}{4}+α）}}{{cos（\frac{π}{4}+α）}}•cos2α}}{{2{{sin}^2}（\frac{π}{4}+α）}}$=$\frac{cos2α}{{2sin（\frac{π}{4}+α）cos（\frac{π}{4}+α）}}$…（2分）
=$\frac{cos2α}{{sin（\frac{π}{2}+2α）}}$…（4分）
=$\frac{cos2α}{cos2α}=1$．…（6分）
（Ⅱ）由题意得sinθ=-2cosθ，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-2．…（7分）
∴$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}=\frac{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ+2sinθcosθ-（{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ）}}{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ+2sinθcosθ+（{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ）}}$…（9分）
=$\frac{{2{{sin}^2}θ+2sinθcosθ}}{{2{{cos}^2}θ+2sinθcosθ}}$=$\frac{{{{tan}^2}θ+tanθ}}{1+tanθ}$…（11分）
=tanθ=-2．…（12分）
（改编自必修4第143页第三章习题3.2第1题第（8）小题）

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，倍角公式及诱导公式的应用，技巧性较强，属于基础题．