Question

4．已知${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，求：
（1）${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$；
（2）${a}^{\frac{3}{2}}$-${a}^{-\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}+4}$．
（2）a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2．可得${a}^{\frac{3}{2}}$-${a}^{-\frac{3}{2}}$=$（{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}）$（a+a^-1+1）．

解答 解：（1）∵${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}+4}$=$\sqrt{{3}^{2}+4}$=$\sqrt{13}$．
（2）a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=13-2=11．
${a}^{\frac{3}{2}}$-${a}^{-\frac{3}{2}}$=$（{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}）$（a+a^-1+1）=3×（11+1）=36．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．