Question

9．已知：向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），$\overrightarrow{c}$=（-1，0）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$垂直，x∈[0，2π]，求x的值；
（Ⅱ）设f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，求f（x）的最小正周期和f（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）若$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影不超过1，x∈[0，2π]，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（sinx-1，cosx），$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$=（sinx+1，sinx），由于$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$垂直，可得（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0，再利用倍角公式、和差公式、三角函数的单调性即可得出；
（II）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$，利用三角函数的周期性与单调性即可得出．
（III）$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影不超过1，可得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}}{1}$≤1，利用三角函数的周期性与单调性即可得出．

解答 解：（I）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（sinx-1，cosx），$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$=（sinx+1，sinx），
∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=（sinx-1）（sinx+1）+sinxcosx=0，
∴sin²x-1+$\frac{1}{2}$sin2x=0，∴$\frac{1-cos2x}{2}$-1+$\frac{1}{2}$sin2x=0，化为sin2x-cos2x=1，
∴$\sqrt{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$=1，即$sin（2x-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x∈[0，2π]，
∴2x∈[0，4π]，
∴2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$，2π+$\frac{π}{4}$，2π+$\frac{3π}{4}$，
解得x=$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$．
（II）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，
∴$（2x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$，
∴当x=$-\frac{π}{8}$时，函数f（x）取得最小值，$f（-\frac{π}{8}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin[2（-\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
当x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最大值，$f（\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2×\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）$+$\frac{1}{2}$=1．
∴f（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值分别为：$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，1；
（III）$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影不超过1，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}}{1}$≤1，
化为$sin（2x-\frac{π}{4}）$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x∈[0，2π]，
∴$（2x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{π}{4}，\frac{15π}{4}]$，
∴$-\frac{π}{4}$≤$2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$≤$2x-\frac{π}{4}$≤2$π+\frac{π}{4}$，3π$-\frac{π}{4}$≤$2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{15π}{4}$，
解得$0≤x≤\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}≤x≤\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}≤x≤2π$．
∴x的取值范围是{x|$0≤x≤\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}≤x≤\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}≤x≤2π$}．

点评 本题考查了向数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．