Question

19．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”，若已知数列{a_n}，的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{5n}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}}{5}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$=（　　）

• A． $\frac{8}{17}$
• B． $\frac{9}{19}$
• C． $\frac{10}{21}$
• D． $\frac{11}{23}$

Answer 1

分析 先求出${S}_{n}=5{n}^{2}$，再求出a_n=10n-5，从而$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此能求出$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{5n}$，
∴$\frac{n}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{5n}$，∴${S}_{n}=5{n}^{2}$，
∴a₁=S₁=5，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（5n²）-[5（n-1）²]=10n-5，
n=1时，上式成立，
∴a_n=10n-5，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{5}$=2n-1，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{19}-\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{21}）$
=$\frac{10}{21}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的前11项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．