Question

10．已知向量：$\overrightarrow{a}$=（2sinωx，cos²ωx），向量$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$2\sqrt{3}$），其中ω＞0，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，函数f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）在[0，π]的上的单调递增区间；
（Ⅱ）若tanα=f（0）+2-2$\sqrt{3}$，求sin²α+sinαcosα+1的值；
（Ⅲ）若对任意实数$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，恒有|f（x）-m|＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用向量的数量积以及二倍角公式两角和的正弦函数化简函数表达式，求出函数的周期，即可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由tanα=2，得到正弦与余弦值，由此得到解析式的值．
（Ⅲ）通过$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，求出相位的范围，确定函数的值域，然后利用|f（x）-m|＜2，得到m的关系式，求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sinωxcosωx+$2\sqrt{3}$cos²ωx，
=sin2ωx+$\sqrt{3}$（1+cos2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
∵相邻两对称轴间的距离为π．∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵tanα=f（0）+2-2$\sqrt{3}$=2，
|sinα|=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，|cosα|=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，且正弦值域余弦值符号相同．
∴sin²α+sinαcosα+1=$\frac{11}{5}$．
（Ⅲ）∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴2$\sqrt{3}$≤f（x）≤2+$\sqrt{3}$
∵|f（x）-m|＜2．
∴-2+m＜f（x）＜2+m，
若对任意实数$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，恒有|f（x）-m|＜2成立，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2+m≤2\sqrt{3}}\\{2+m≥2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$
解得$\sqrt{3}$≤m≤4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数二倍角公式的应用，函数恒成立问题的应用．