Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E、F分别是BC，A₁C₁的中点．
（1）求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）设D是边B₁C₁上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点M，连结FM，EM．则可证FM⊥平面ABC，故而∠FEM为所求的角，
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，求出$\overrightarrow{BD}$和$\overrightarrow{EF}$的坐标，计算cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞得出cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞关于λ的函数，求出|cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞|取得最大值时对应的λ的值，得到$\overrightarrow{BD}$的坐标，求出|$\overrightarrow{BD}$|．

解答 解：（1）取AC的中点M，连结FM，EM．
∵F，M分别是A₁C₁，AC的中点，四边形ACC₁A₁是矩形，
∴FM∥AA₁，FM=AA₁=2，
∵AA₁∥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∴∠FEM是EF与平面ABC所成的角．
∵E，M分别是BC，AC的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}AB$=1．∴EF=$\sqrt{F{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴sin∠FEM=$\frac{FM}{EF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线EF与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）以A为原点，以AB，AC，AA₁为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（2，0，0），E（1，1，0），F（0，1，2）．B₁（2，0，2），C₁（0，2，2）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），
设$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2λ，2λ，0），则$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EF}$=2λ+4．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{λ+2}{\sqrt{5}\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{（\frac{3}{λ+2}-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{2}{9}}}$．
∴当$\frac{3}{λ+2}=\frac{4}{3}$即λ=$\frac{1}{4}$时，cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞取得最大值，即直线BD与EF所成角最小．
此时，$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），∴|BD|=|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了空间向量的应用，空间角的计算，属于中档题．