Question

17．设F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{{b{\;}^2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，$\frac{3}{2}$）到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（0，$\frac{3}{2}$）的直线与椭圆交于两点M，N，若以M，N为直径的圆通过原点，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，2a=4，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设直线MN的方程为：y=kx+$\frac{3}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线方程与题意方程联立化为：（3+4k²）x²+12kx-3=0，由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，利用根与系数的关系代入解出k即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，2a=4，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦点坐标为：（±1，0）．
（2）设直线MN的方程为：y=kx+$\frac{3}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+12kx-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{3+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，
∴x₁•x₂+$（k{x}_{1}+\frac{3}{2}）$$（k{x}_{2}+\frac{3}{2}）$=0，
∴（1+k²）x₁•x₂+$\frac{3}{2}$k（x₁+x₂）+$\frac{9}{4}$=0，
∴（1+k²）•$\frac{-3}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3}{2}$k•$\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{9}{4}$=0，
化为：16k²=5，
解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴直线MN的方程为y=$±\frac{\sqrt{5}}{4}$x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．