Question

12．对于定义域为D的函数f（x）=k+$\sqrt{x+2}$，满足存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，求实数k的取值范围$（-\frac{9}{4}，-2]$．

Answer 1

分析 先判断函数的定义域和单调性，根据函数定义域和值域之间的关系建立方程组，构造函数进行求解即可．

解答 解：若f（x）=k+$\sqrt{x+2}$满足条件．
∵函数f（x）=k+$\sqrt{x+2}$在[-2，+∞）上是增函数，
即$\left\{\begin{array}{l}a=k+\sqrt{a+2}\\ b=k+\sqrt{b+2}\end{array}\right.$，
∴a，b为方程$x=k+\sqrt{x+2}$的两个实数根，
即k=x-$\sqrt{x+2}$在x≥-2时有两个不同的根，
设t=$\sqrt{x+2}$，则x=t²-2，
则方程等价为k=t²-2-t，在t≥0有两个不等的实根，
设g（t）=t²-2-t，在t≥0，
作出g（t）的图象如图：
当t=0时，g（0）=-2，
g（t）=t²-2-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
则g（t）的最小值为-$\frac{9}{4}$，
∴要使y=k与g（t）有两个不同的交点，
则$-\frac{9}{4}＜k≤-2$，
故答案为：$（-\frac{9}{4}，-2]$

点评 本题主要考查函数值域的应用，根据条件判断函数的单调性，根据单调性建立方程，然后转化为一元二次函数是解决本题的关键．