Question

如图，某轮船从海岛A出发沿正方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距4

6

n mile，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距8

3

n mile，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．
（1）求D与海岛A的距离；
（2）求D与灯塔C的距离．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）在△ABD中，由正弦定理可求AD；
（2）在△ACD中，由余弦定理得CD．

解答： 解：（1）由题意得在△ABD中，AB=4

6

，∠DAB=75°，∠ADB=45°，
由正弦定理得

AD

sin∠ABD

=

AB

sin∠ADB

，…（2分）
∴AD=

AB•sin∠ABD

sin∠ADB

=

4 6 ×sin(180°-75°-45°)

sin45°

=12n mile  …（5分）
（2）由（1）得AD=12，在△ACD中，AC=8

3

，∠DAC=30°，…（7分）
由余弦定理得CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos30°=48，
∴CD=4

3

n mile．…（10分）

点评：本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．