Question

已知在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N．
（1）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项式及其前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），由此能证明数列{a_n-n}是等比数列．
（2）由a₁=2，a₁-1=1，

an+1-(n+1)

an-n

=4，由此能求出数列{a_n}的通项式及其前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∴

an+1-(n+1)

an-n

=4，
∴数列{a_n-n}是等比数列．
（2）解：∵a₁=2，a₁-1=1，

an+1-(n+1)

an-n

=4，
∴a_n-n=1×4^n-1，
∴a_n=n+4^n-1．
∴S_n=

n(n+1)

2

+

1-4n

1-4

=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．