Question

已知x∈R，向量

OA

=（2acos²

2ω+φ

2

，1），

OB

=（1，

3

asin（ωx+φ）-a），设函数f（x）=

OA

•

OB

，（a≠0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

），若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且其图象有一条对称轴方程为x=

π

12

．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求当a＞0时，f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）+b的最大值为2，最小值为-

3

，求a和b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）的解析式，由题意可得ω和φ，进而可得解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解不等式可得；（3）由x∈[0， 

π

2

]可得-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，分a大于0和小于0可得ab的方程组，解方程组可得．

解答： 解：（1）由题意f(x)=

OA

•

OB

=(2acos2

ωx+ϕ

2

， 1)•(1， 

3

asin(ωx+ϕ)-a)
=2acos2

ωx+ϕ

2

+

3

asin(ωx+ϕ)-a=a[1+cos(ωx+ϕ)]+

3

asin(ωx+ϕ)-a
=

3

asin(ωx+ϕ)+acos(ωx+ϕ)=2asin(ωx+ϕ+

π

6

)，
∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴T=

2π

ω

=π，∴ω=2，
且其图象有一条对称轴方程为x=

π

12

，∴ωx+ϕ+

π

6

=kπ+

π

2

，
即2×

π

12

+ϕ+

π

6

=kπ+

π

2

，即ϕ=kπ+

π

6

（k∈Z），
∵ϕ∈(0， 

π

2

)，∴ϕ=

π

6

．∴f(x)=2asin(2x+

π

3

)．
（2）当a＞0时，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
可得f（x）的单调增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（3）由x∈[0， 

π

2

]，得

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
①若a＜0时，有

- 3 a+b=2 2a+b=- 3

，解得

a=-1 b=2- 3

，
②若a＞0时，有有

2a+b=2 - 3 a+b=- 3

，解得

a=-1 b=0

．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及分类讨论的思想及向量的数量积，属中档题．