Question

已知A

5 n

=56C

7 n

，且（2x+1）ⁿ=a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）+a₃（x+3）³+…+a_n（x+3）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求n的值；
（2）求2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2ⁿ⁺¹a_n的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由

A

5 n

=56

C

7 n

可得（n-5）（n-6）=90，由此求得得n的值．
（2）在所给的等式中，令x=-1，可得a0+2a1+22a2+…+2nan=a0+2a1+22a2+…+215a15=-1，而要求的式子即 2（2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2¹⁶a₁₅），计算可得结果．

解答： 解：（1）由

A

5 n

=56

C

7 n

 可得（n-5）（n-6）=90，
解得n=15，或n=-4（舍去）．
（2）在（2x+1）¹⁵ =a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）+a₃（x+3）³+…+a_n（x+3）¹⁵ 中，
令x=-1，可得a0+2a1+22a2+…+2nan=a0+2a1+22a2+…+215a15=-1，
故 2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2ⁿ⁺¹a_n =2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2¹⁶a₁₅ =2（2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2¹⁶a₁₅）=-2．

点评：本题主要考查排列数、组合数的计算公式，二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基题．