Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，直线bx-ay=ab与两坐标轴围成的三角形面积为4

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左项点为A，上顶点为B，圆M过A，B两点，当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a2-b2 a = 2 2 1 2 ab=4 2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由A（-4，0），B（0，2

2

）得线段AB的中点为（_2，

2

），从而线段AB中垂线l的方程为

2

x+y+

2

=0，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥l，由此能求出圆M的方程．

解答： 解：（1）直线bx-ay=ab与坐标轴的交点为（a，0），（0，b）．…1 分
围成的三角形面积为S=

1

2

ab=4

2

．…2 分

a2-b2 a = 2 2 1 2 ab=4 2

，解得：a=4，b=2

2

．…（5分）
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

8

=1．…（6分）
（2）由（1）得，A（-4，0），B（0，2

2

）．…（7分）
∴线段AB的中点为（_2，

2

），直线AB的斜率为k=

2

2

．
∴线段AB中垂线l的方程为y-

2

=-

2

（x+2），
即

2

x+y+

2

=0．…（9分）
∴圆心M在直线l上，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥l，
直线OM的方程为y=

2

2

x．…（11分）
由

y= 2 2 x 2 x+y+ 2 =0

，得x=-

2

3

，y=-

2

3

．
∴M（-

2

3

，-

2

3

），半径r2=|MA|2=

34

3

．…（12分）
∴圆M的方程为(x+

2

3

)2+(y+

2

3

)2=

34

3

．…（14分）

点评：本题考查曲线与方程、椭圆与圆的方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解和分析探究问题能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．