Question

已知椭圆E：

x2

4

+y²=1的短轴端点分别为A，B（如图）．直线AM，BM分别与椭圆E交于C，D两点，其中点满足m≠0，且m≠±

3

．
（Ⅰ）若AM⊥BM，求m的值；
（Ⅱ）证明：CD所在直线与y轴交点的位置与m无关．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由

AM

=（m，-

1

2

），

BM

=(m，

3

2

)，AM⊥BM，能求出m的值．
（Ⅱ）直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得C（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得D（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

），由此能证明CD与y轴交点的位置与m无关．

解答： （Ⅰ）解：∵A（0，1），B（0，-1），M（m，

1

2

），
∴

AM

=（m，-

1

2

），

BM

=(m，

3

2

)．…（2分）
又AM⊥BM，∴

AM

•

BM

=0，
即m2=

3

4

，解得m=±

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）证明：直线AM的斜率为k1=-

1

2m

，
直线BM斜率为k2=

3

2m

．
∴直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1．…（6分）
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，∴x1=0，x2=

4m

m2+1

．
∴C（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），…（8分）
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得（m²+9）x²-12mx=0，
∴x₁=0，x2=

12m

m2+9

，∴D（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

），…（10分）
由题意知m≠0，m²≠3，．
∴直线CD的斜率k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 m2+9

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

，
∴直线CD的方程为y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)．…（12分）
令x=0，得y=2，∴CD与y轴交点的位置与m无关．…（13分）

点评：本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．