Question

12．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R=$\frac{3+\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 三个小球的球心构成边长为2的正三角形，则其外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．设半球的球心为O小球O₁与半球底面相切于点A，经过点O，O₁，A作半球的截面，半圆O的半径OC⊥OA，O₁B⊥OC于点B，利用勾股定理可得结论．

解答 解：三个小球的球心构成边长为2的正三角形，则其外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设半球的球心为O小球O₁与半球底面相切于点A，如图，经过点O，O₁，A作半球的截面，半圆O的半径OC⊥OA，O₁B⊥OC于点B，则OA=O₁B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在直角△OAO₁中，由（R-1）²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+1²，得R=$\frac{3+\sqrt{21}}{3}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查球的内切几何体问题，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．