Question

4．在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的-点，且满足AD=$\frac{1}{3}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，若CD⊥BE，则cosA的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由CD⊥BE，即$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BE}=0$，可得（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$）•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$）=0，解得cosA=$\frac{3{a}^{2}}{4cb}$，又由余弦定理即基本不等式可得2（b²+c²）=5a²≥4bc，即可得解．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，
∵CD⊥BE，
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BE}=0$，
∴（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$）•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$）=0，
∴解得：-（$\overrightarrow{BC}$）²+2$\overrightarrow{BC}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$）+4$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴-a²+2$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CB}$+4cbcosA=0，即-a²-2a²+4cbcosA=0，
∴cosA=$\frac{3{a}^{2}}{4cb}$，又由余弦定理可得：-3a²+4cb×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0，2（b²+c²）=5a²≥2×2bc，
∴cosA=$\frac{3{a}^{2}}{4cb}$≥$\frac{3{a}^{2}}{5{a}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，当且仅当b=c时，cosA取得最小值为$\frac{3}{5}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了平面向量的应用，考查了余弦定理及不等式的解法，属于基本知识的考查．