Question

9．如图所示，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），D是AC的中点．
（1）证明：AB₁∥平面DBC₁；
（2）若BB₁=8，BC=6，求异面直线BD与AB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）可连接B₁C，设交BC₁于点E，并连接DE，从而可说明DE∥AB₁，这样根据线面平行的判定定理即可得出AB₁∥平面DBC₁；
（2）根据上面便知，∠EDB为异面直线BD与AB₁所成角，根据三棱柱为正三棱柱，由BB₁=8，BC=6便可求出BD，BE，AB₁的长，而由DE为△AB₁C的中位线便可求出DE，这样在△BDE中，根据余弦定理即可求出cos∠EDB，即求出异面直线BD与AB₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）证明：如图，连接B₁C，交BC₁于点E，连接DE；
∵D是AC中点，E是B₁C中点；
∴DE∥AB₁，且$DE=\frac{1}{2}A{B}_{1}$；
又DE?平面DBC₁，AB₁?平面DBC₁；
∴AB₁∥平面DBC₁；
（2）∵AB₁∥DE；
∴∠EDB是异面直线BD与AB₁所成角；
∵BB₁=8，BC=6，三棱柱A₁B₁C₁-ABC为正三棱柱；
∴$BE=5，A{B}_{1}=10，BD=3\sqrt{3}$，$DE=\frac{1}{2}A{B}_{1}=5$；
∴在△BDE中，由余弦定理得：cos∠EDB=$\frac{B{D}^{2}+D{E}^{2}-B{E}^{2}}{2BD•DE}=\frac{27}{30\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{10}$；
即异面直线BD与AB₁所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{3}}{10}$．

点评 考查正三棱柱的定义，三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，以及异面直线所成角的概念及求法，余弦定理．