Question

19．等差数列{a_n}中a₁=8，d≠0，且a₁，a₃，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{n（12-{a}_{n}）}$（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由于a₁=8，且a₁，a₃，a₄成等比数列．可得${a}_{3}^{2}$=a₁a₄，利用等差数列的通项公式解出即可．
（2）b_n=$\frac{1}{n（2+2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁=8，且a₁，a₃，a₄成等比数列．
∴${a}_{3}^{2}$=a₁a₄，即（8+2d）²=8（8+3d），解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）b_n=$\frac{1}{n（2+2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{2n+2}$

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．