Question

7．设集合E={1，2，3，…，2n}，A={a₁，a₂，…，a_n}⊆E，满足对任意a_i，a_j∈A，a_i+a_j≠2n+1．S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S_n的最值，并求出所有S_n相加所得的总和T_n
（2）n≥5时，将S_n的值从小到大排列，写出前5个值对应的集合A并说明理由
（3）$\frac{{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{n}^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{2（2n+1）}{3}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₁=1，a₂=2，a₃=3，…，a_n=n时，取得最小，当a₁=n+1，a₂=n+2，a₃=n+3，…，a_n=2n时，取得最大；由于1，2，3，…，2n均出现2^n-1次，结合等差数列的求和公式，计算即可得到；
（2）由（1）的结论，运用条件，即可得到所求；
（3）求出n=1，2，3时a_n的值，猜想通项，再由求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）由题意可得a₁=1，a₂=2，a₃=3，…，a_n=n时，
S_n取得最小值，且为$\frac{n（n+1）}{2}$；
当a₁=n+1，a₂=n+2，a₃=n+3，…，a_n=2n时，
S_n取得最大值，且为$\frac{n（3n+1）}{2}$；
由于1，2，3，…，2n均出现2^n-1次，
则T_n=2^n-1（1+2+3+…2n）=$\frac{2n（1+2n）}{2}$•2^n-1=n（1+2n）2^n-1；
（2）n≥5时，S_n的最小值为$\frac{n（n+1）}{2}$，接着为$\frac{n（n+1）}{2}$+1，$\frac{n（n+1）}{2}$+3，…，
$\frac{n（3n+1）}{2}$-1，$\frac{n（3n+1）}{2}$．
根据S_n的值从小到大排列，可得
S_n最小时，为A={1，2，…，n}，接着为A={1，2，…，n-1，n+1}，
{1，2，…，n+2，n}，{1，2，3，…，n+2，n+1}，{1，2，3，…，n-3，n+3，n-1，n}；
（3）n=1时，$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{a}_{1}}$=2，即a₁=2；
n=2时，$\frac{4+{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$=$\frac{2×5}{3}$，解得a₂=4，
n=3时，$\frac{4+16+{{a}_{3}}^{2}}{2+4+{a}_{3}}$=$\frac{2×7}{3}$，解得a₃=6，
猜想a_n=2n，
由$\frac{4+16+…+4{n}^{2}}{2+4+..+2n}$=$\frac{4×\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）}{\frac{1}{2}n（2+2n）}$
=$\frac{2（2n+1）}{3}$．
故a_n=2n，S_n=2+4+6+…+2n=n（n+1）．

点评 本题考查集合的包含关系，考查数列的求和，注意运用等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．