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    （2009•红桥区二模）某电视台娱乐节目，为了使节目的趣味性、知识性融于一体，采取了答题过关的形式，每位选手最多有5次答题的机会，选手累计答对3题进入过下一关的机会，答错3题则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为
    23
    ．
    （Ⅰ）求选手甲恰好第一次、第三次、第五次答对题的概率；
    （Ⅱ）求选手甲可进入下一关的概率；
    （Ⅲ）设选手甲在答题过关时答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
    分析：（Ⅰ）直接根据相互独立事件的概率乘法公式解之即可；
    （Ⅱ）由于答对3题者进入下一关，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答4题，前3题错一题，第4题答对；一类是答5题，前4题错两题，第5题答对，故可求求选手甲可进入下一关的概率；
    （Ⅲ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出ξ的分布列，进而可求概率．
    解答：解：（Ⅰ）选手甲恰好第一次、第三次、第五次答对题的概率为(
    2
    3
    )    3    •(
    1
    3
    )2=
    8
    243
     …2分
    （Ⅱ）选手甲答3道题可进入下一关的概率为(
    2
    3
    )3=
    8
    27
    ；  …3分
    选手甲答4道题可进入决赛的概率为
    C
    2
    3
    (
    2
    3
    )2•
    1
    3
    •
    2
    3
    =
    8
    27
    ；…5分
    选手甲答5道题可进入决赛的概率为
    C
    2
    4
    (
    2
    3
    )    2    •(
    1
    3
    )2•
    2
    3
    =
    16
    81
    ； …7分
    ∴选手甲可进入决赛的概率P=
    8
    27
    +
    8
    27
    +
    16
    81
    =
    64
    81
    ．        …9分
    （Ⅲ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有
    P（ξ=3）=(
    2
    3
    )    3    +(
    1
    3
    )    3    =
    1
    3
    ，
    P（ξ=5）=
    C
    2
    4
    (
    2
    3
    )    2    •(
    1
    3
    )    2    •
    2
    3
    +
    C
    2
    4
    (
    2
    3
    )    2    •(
    1
    3
    )    2    •
    1
    3
    =
    8
    27
    ，
    P（ξ=4）=1-P（ξ=3）-P（ξ=5）=1-
    1
    3
    -
    8
    27
    =
    10
    27
    ，…12分
    因此，有
    ξ 3 4 5
    p
    1
    3
    10
    27
    8
    27
    ∴Eξ=3×
    1
    3
    +4×
    10
    27
    +5×
    8
    27
    =
    107
    27
    ．          …14分．
    点评：本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．
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