Question

若不等式-1≤sin²x+4cosx+a²≤13对一切实数x均成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，根据题意，换元法得到关于t的二次函数，然后利用函数的单调性求解函数y=-t²+4t+1+a²的最大值和最小值，然后，根据不等式-1≤sin²x+4cosx+a²≤13对一切实数x均成立，等价于

a2-4≤13 4+a2≥-1

，求解实数a的取值范围．

解答： 解：设函数y=sin²x+4cosx+a²，
=1-cos²x+4cosx+a²
=-cos²x+4cosx+1+a²
令cosx=t，则t∈[-1，1]，
∴y=-t²+4t+1+a²
=-（t+2）²+a²
在区间[-1，1]上为减函数，
∴当t=-1时，函数y取得最大值a²-4，
当t=1时，函数y取得最小值4+a²，
∵不等式-1≤sin²x+4cosx+a²≤13对一切实数x均成立，
∴

a2-4≤13 4+a2≥-1

，
∴-

17

≤a≤

17

，
故答案为：[-

17

，

17

]．

点评：本题重点考查了不等式的恒成立问题，函数的最值等知识，属于中档题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．