Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、是CC₁的中点，求证：PB∥面AD₁C．（用两种方法）

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：方法一如图所示，取C₁D₁的中点Q，连接BQ，PQ，得到平面QPB∥面AD₁C，继而得到PB∥面AD₁C．
方法二，如图所示取DD₁的中点E，连接PE，交CD₁于点F，得到PB∥AF，继而得到PB∥面AD₁C．

解答： 解：方法一：取C₁D₁的中点Q，连接BQ，PQ，
∵P是CC₁的中点
∴PQ∥D₁C
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴QD₁=

1

2

CD=

1

2

C₁D₁，QD₁∥CD，
∵AB∥CD，CD=2，DD₁=AB=1
∴QD₁∥AB，QD₁=AB，
∴四边形D₁ABQ为平行四边形，
∴AD₁∥QB，
∵AD₁∩CD₁=D₁，BQ∩QP=Q，AD₁，CD₁?平面AD₁C，BQ，QP?平面BQP，
∴平面QPB∥面AD₁C，
∵PB?平面QPB，
∴PB∥平面AD₁C．
方法二，取DD₁的中点E，连接PE，交CD₁于点F，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴C₁D₁∥CD，
∴EP∥CD，FP=

1

2

CD，
∵AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，AB=1，
∴FP∥AB，FP=AB，
∴四边形ABPF为平行四边形，
∴PB∥AF，
∵AF?平面AD₁C，
∴PB∥平面面AD₁C．

点评：本题考查线面平行的证明，方法是利用面面平行和线线平行，注意空间思维能力的培养，属于中档题