【题目】已知椭圆:经过点,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过坐标原点作直线交椭圆于、两点,过点作的平行线交椭圆于、两点.是否存在常数, 满足?若存在,求出这个常数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由题意可得,解得a2=12,b2=8,即可求出椭圆方程,
(2)设出直线l的方程为x=my+2,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,求出|AB|,再设直线x=my,代入椭圆方程,化简可得|OP|,再由计算即可得到所求常数λ.
(1)由题意可得,解得a2=12,b2=8,c2=4,
故椭圆C的方程为1,
(2)设直线AB的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(2m2+3)y2+8my﹣16=0,
即有y1+y2,y1y2,
|AB|8,
设P(x3,y3),Q(x4,y4),
由x=my代入椭圆方程可得
消去x,并整理得y2,
∴x2=m2,
∴|OP|2,
∵|AB|=λ|OP|2,
∴8λ,
∴λ
故存在常数λ,使得|AB|=λ|OP|2
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【题目】如图,三棱柱中, 平面, .过的平面交于点,交于点.
(l)求证: 平面;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为,三棱柱的体积为.若,求的值.
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【题目】如图, 是边长为3的正方形, 平面, 平面, .
(1)证明:平面平面;
(2)在上是否存在一点,使平面将几何体分成上下两部分的体积比为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】设某地区乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
储蓄存款(千亿元) | 3.5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.5 |
(1)求关于的回归方程,并预测该地区2019年的人民币储蓄存款(用最简分数作答).
(2)在含有一个解释变量的线性模型中,恰好等于相关系数的平方,当时,认为线性回归模型是有效的,请计算并且评价模型的拟合效果(计算结果精确到).
附:
, .
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示,
(1)画出函数f(x),x∈R剩余部分的图象,并根据图象写出函数f(x),x∈R的单调区间;(只写答案)
(2)求函数f(x),x∈R的解析式.
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【题目】《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下图是赵爽弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱色及黄色,其面积称为朱实、黄实.由2勾股(股勾)24朱实黄实弦实,化简得勾2股2弦2.若图中勾股形的勾股比为,若向弦图内随机抛掷2000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉颗数大约为( )(参考数据:)
A.B.C.D.
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【题目】下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个基本事件出现的可能性相等;
④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则.
A. ②④ B. ③④ C. ①④ D. ①③④
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【题目】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图,则下面结论中错误的一个是( )
A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24
C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21
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