Question

已知函数f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3（x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是常实数．
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，4]上的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于函数f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3（x∈R）的图象关于原点对称，
则f（x）为奇函数，所以偶次项系数p=0，p+q+3=0，解得p=0，q=-3．
（Ⅱ）由于f（x）=x³-27x，∴f′（x）=3x²-27=3（x-3）（x+3），
令f′（x）=0，则x=-3或3．
所以当x∈[-1，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（3，4]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
而f（-1）=26，f（4）=-44，f（3）=-54，
所以f（x）_min=f（3）=-54，f（x）_max=f（-1）=26．
分析：（1）由于函数关于原点对称，则函数是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质即可解出p、q值；
（2）利用导数求区间上的最值，要先求导函数，令导数为0解出极值点，再与端点值比较大小即可．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．