Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c        
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．

Answer 1

解：（1）由题意可得：函数f（x）=x³+bx²+cx+d的导数为：f'（x）=3x²+2bx+c，
因为函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=﹣，c=6．
（2）设切点为（x₀，y₀），
由（1）可得：f'（x）=3x²﹣9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，
所以f'（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，
当x₀=3时，y₀=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³x²+6x+．
当x₀=0时，y₀=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³x²+6x+1．
（3）由题意可得：f（x）=x³x²+6x+1，并且P（0，1），
设切点的坐标为（x₁，y₁），所以==…①．
又因为f'（x）=3x²﹣9x+6，所以K_切=3x₁²﹣9x₁+6…②，
由①②可得：，
所以切点为（，），所以，
所以切线方程为15x﹣16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x﹣16y+16=0．