Question

已知函数， 
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求实数的最小值；
（3）若，使成立，求实数取值范围.

Answer 1

（1）函数的单调递减区间是，，递增区间是。
（2）的最小值为。
（3）。

试题分析：函数的定义域为，且   2分
（1）函数
当且时， ；当时，
所以函数的单调递减区间是，，递增区间是  .5分
（2）因为在上为减函数，故在上恒成立
所以当时，
又
故当，即时，
所以于是，故的最小值为             .8分
（3）命题“若，使成立”等价于
“当时，有”
由（2），当时，，所以
问题等价于： “当时，有”            9分
（i）当时，由（2）在上为减函数
则，故
（ii）当时，由于在上为增函数
故的值域为，即
由的单调性值域知
唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以， 
所以，，与矛盾，不合题意
综上，                                            12分
点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题的难点在于利用转化思想的灵活应用。