Question

已知函数f（x）=e^x-a，g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）求使f（x）≥g（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立的a的最大值；
（Ⅱ）若0≤x₁＜x₂，求证ex2-x1-1＞ln

x2+1

x1+1

（Ⅲ）证明：e＞In(n+1)

1

n

+1，其中n∈N^*．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令F（x）=f （x）-g（x）=ex-ln（x+1）-a，x∈（-1，+∞），原问题转化为F（x）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立，等价于F _min（x）≥0，利用导数可求得F _min（x）；
（Ⅱ）由（I）知，e^x-1≥ln（x+1），x∈（-1，+∞），且x=0时等号成立，用

x2-x1

x1+1

替换不等式中的x得e

x2-x1

x1+1

-1＞ln

x2+1

x1+1

①，由x2-x1＞

x2-x1

x1+1

，得ex2-x1＞e

x2-x1

x1+1

②综合①②可得结论．
（Ⅲ）构造数列{x_n}，其中x_n=n-1，n∈N^*，则x_n+1-x_n=1，利用（Ⅱ）得，e-1＞ln

n+1

n

，n=1，2，…，n，上面n个式子相加可得结论；

解答：（I）解：令F（x）=f （x）-g（x）=e^x-ln（x+1）-a，x∈（-1，+∞），
则F′(x)=ex-

1

x+1

．令F'（x）=0，得x=0，
当x∈（-1，0）时，ex＜1＜

1

x+1

即F'（x）＜0，F（x）在（-1，0）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，ex＞1＞

1

x+1

即F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上单调递增；
原问题转化为F（x）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立，等价于F _min（x）=F（0）=1-a≥0，即a≤1．
所以，使原问题成立的a的最大值是1；
（II）证明：由（I）知，e^x-1≥ln（x+1），x∈（-1，+∞），且x=0时等号成立，
又由0≤x₁＜x₂，得

x2+1

x1+1

-1=

x2-x1

x1+1

＞0，
因此，e

x2-x1

x1+1

-1＞ln

x2+1

x1+1

①，
而由x2-x1＞

x2-x1

x1+1

，得ex2-x1＞e

x2-x1

x1+1

②．
综合①②得ex2-x1-1＞ln

x2+1

x1+1

；
证明：（Ⅲ）取数列{x_n}，其中x_n=n-1，n∈N^*，则x_n+1-x_n=1，
利用（Ⅱ）得，e-1＞ln

n+1

n

，n=1，2，…，n，
上面n个式子相加，得n（e-1）＞ln（n+1），即e＞ln(n+1)

1

n

+1，n∈N^*．

点评：本题考查导数研究函数的最值、函数恒成立问题及不等式的证明，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，本题难度较大，对能力要求较高．