Question

如图：港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到D处，测得CD为21n mile．
（1）求cos∠BDC和sin∠ACD．
（2）问此时轮船离港口A还有多远？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）在△BDC中，先由余弦定理，可求cos∠CDB，从而求出sin∠ACD；
（2）在△ACD中，由正弦定理知，

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，可求AD．

解答： 解：（1）由条件知∠A=60°，在△BCD中，由余弦定理，得：
cos∠BDC=

CD2+BD2-BC2

2CD•BD

=-

1

7

…（2分）
所以sin∠BDC=

4 3

7

．…（3分）sin∠ACD=sin(∠BDC-

π

3

)=sin∠BDCcos

π

3

-cos∠BDCsin

π

3

=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．…（6分）
（2）在△ACD中，由正弦定理得：

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，所以AD=

CD•sin∠ACD

sinA

=15n mile．
答：此时轮船离港口还有15 n mile．…（10分）

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题．