Question

设对于任意实数x，不等式|x-1|+|x-2|≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式|x+1|-2x≤

m

3

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由条件利用绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|取得最小值为1，再根据不等式|x-1|+|x-2|≥m恒成立，可得m的范围．
（2）由（1）可得m=1，不等式等价于|x+1|≤

1

3

+2x，故有

1 3 +2x≥0 - 1 3 -2x≤x+1≤ 1 3 +2x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，
可得当x∈[1，2]时，|x-1|+|x-2|取得最小值为1；
可得：|x-1|+|x-2|≥1恒成立，故有m≤1．
（2）由（1）可得m的最大值为1，不等式即|x+1|-2x≤

1

3

，等价于|x+1|≤

1

3

+2x，
∴

1 3 +2x≥0 - 1 3 -2x≤x+1≤ 1 3 +2x

，即

2x≥- 1 3 3x≥- 4 3 ，且2x-x≥ 2 3

，即

x≥- 1 6 x≥- 4 9 ，且x≥ 2 3

．
解得：x≥

2

3

，即不等式的解集为{x|x≥

2

3

}．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，对于有绝对值的不等式，可以借助两个工具，一是把他转化成x轴上点的距离；二是运用绝对值的等式运算，属于基础题．