Question

学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生．
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（Ⅲ）求投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）这3名学生选择的选修课的基本事件总数n=4³，这3名学生选择的选修课互不相同包含的基本事件个数m=

A

3 4

，由此能求出这3名学生选择的选修课互不相同的概率．
（Ⅱ）这3名学生选择的选修课的基本事件总数n=4³，恰有2门选修课没有被这3名学生选择包含的基本事件个数m=

C

2 4

(23-2)，由此能求出恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率．
（Ⅲ）设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为ζ，则ζ═0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）这3名学生选择的选修课的基本事件总数n=4³，
这3名学生选择的选修课互不相同包含的基本事件个数m=

A

3 4

，
∴这3名学生选择的选修课互不相同的概率p₁=

A 3 4

43

=

3

8

．
（Ⅱ）这3名学生选择的选修课的基本事件总数n=4³，
恰有2门选修课没有被这3名学生选择包含的基本事件个数m=

C

2 4

(23-2)，
∴恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率p₂=

C 2 4 (23-2)

43

=

9

16

．
（Ⅲ）设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为ζ，则ζ═0，1，2，3，
P（ζ=0）=

33

43

=

27

64

，
P（ζ=1）=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P（ζ=2）=

3• C 1 3

43

=

9

64

，
P（ζ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

．（11分）
X的分布列为

ζ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．