Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图所示．
（1）求?，ϕ的值；
（2）若方程f（x+

π

3

）=m在区间[{0，

π

2

]内有两个不相等的实数根x₁，x₂．求：
i）m的取值范围；
ii）求x₁+x₂．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求出ω，由最高点求出φ的值；
（2）i）数形结合可得，要有两个不相等的实根，即可求出m的取值范围；
ii）利用对称性求x₁+x₂．

解答： 解：（1）由图可知T=π，所以?=2，由五点法或代入一点，可得ϕ=-

π

2

（2）i）f（x+

π

3

）=sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
由图，方程f（x+

π

3

）=m在区间[{0，

π

2

]内有两个不相等的实数根x₁，x₂，
数形结合可得，∴要有两个不相等的实根，∴m∈[

1

2

，1)；
ii）利用对称性，可得x1+x2=

π

3

．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，正弦函数的值域，正弦函数的对称性，得到m的取值范围，是解题的难点．