Question

5．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦，D，E分是椭圆C的上顶点和右顶点，且S${\;}_{△DE{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，离心率e=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求S_△AOB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}（a-c）b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，---------------------------------（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，故所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$----------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（1）知F₂（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，
整理得（3t²+4）y²+6ty-9=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{t}^{2}+4}}\end{array}\right.$，-----------------------（8分）
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{{6\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$，
令$\sqrt{{t^2}+1}=k，k≥1$，$S=\frac{6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{6k}{3{k}^{2}+1}$=$\frac{6}{3k+\frac{1}{k}}$，
函数是减函数，所以S$≤\frac{3}{2}$-----------------------（11分）
当且仅当t=0时上式取等号．S_△AOB的最大值为$\frac{3}{2}$．--------------------（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力．