Question

15．在极坐标系中，圆C₁：ρ=4cosθ与圆C₂：ρ=2sinθ相交于A，B两点，则|AB|=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 可由这两圆的极坐标方程，在方程的两边同乘以ρ即可得出其平面直角坐标系下的方程，两圆的方程相减，可得公共弦的方程，根据勾股定理即可求出|AB|的值．

解答 解：由ρ=4cosθ得，ρ²=4ρcosθ；
∴x²+y²=4x；
∴（x-2）²+y²=4；
∴该圆表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆；
由ρ=2sinθ得，ρ²=2ρsinθ；
∴x²+y²=2y；
∴x²+（y-1）²=1；
∴该圆表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
两圆的方程相减，可得公共弦的方程为2x-y=0，
（2，0）到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，∴|AB|=2$\sqrt{4-\frac{16}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 考查圆的极坐标方程的表示，以及极坐标和直角坐标互化的公式，以及圆的标准方程，属于中档题．