【题目】如图,在四棱锥中,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角的正切值为,求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)计算相关线段长度,先通过线面垂直的判定定理证明线面垂直,然后根据面面垂直的判定定理即可完成证明;
(2)先根据二面角的正切值,采用向量方法求解出的长度,
法(一):采用几何方法,找到点在平面内的射影点,根据线段长度即可求解出线面角的余弦值;
法(二):采用向量方法,根据直线方向向量与平面法向量的夹角的余弦值即为线面角的正弦值,即可求解出结果.
(1)依题设得,,故,故,
又,,故且,故底面,
又平面,因此平面平面;
(2)如图,作直线平面,以点为原点,
分别以的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则点,,设平面的法向量,
则,取,得,
又设平面的法向量,设,
则,取,得,
由题设知,即,解得
(法一)取中点,连接,则平面,
则是与平面所成角,
因为,,故,
因此,此为所求;
(法二)点,故,平面的法向量,
设与平面所成角为,
则,因此与平面所成角的余弦值为.
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【题目】由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是( )
A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓
C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
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【题目】已知抛物线T的焦点为F,准线为l,过F的直线m与T交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,M为AB的中点,若m与l不平行,则△CMD是( )
A. 等腰三角形且为锐角三角形
B. 等腰三角形且为钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 非等腰的直角三角形
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【题目】过椭圆的左顶点作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为,与轴的交点为,已知.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点,若轴上存在一定点,使得,求椭圆的方程.
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【题目】已知,函数.
(1)求实数的值,使得为奇函数;
(2)若关于的方程有两个不同实数解,求的取值范围;
(3)若关于的不等式对任意恒成立,求的取值范围.
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【题目】对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.
(1)求的值;
(2)求证:对任意的正整数,是的倍数.
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【题目】如图,在四棱锥中, 平面, , , , , , .
(I)求异面直线与所成角的余弦值;
(II)求证: 平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
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