【题目】对由和
这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“
”的最后一个
所在数位是第
(
,且
)位,则称子串“
”在第
位出现;再继续从第
位按从左往右的顺序找子串“
”,若第二个子串“
”的最后一个
所在数位是第
位(其中
且
),则称子串“
”在第
位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串
中,子串“
”在第
位和第
位出现,而不是在第
位和第
位出现.记在
位由
组成的所有字符串中,子串“
”在第
位出现的字符串的个数为
.
(1)求的值;
(2)求证:对任意的正整数,
是
的倍数.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】
(1)直接由题意分析求解的值,即可求得答案;
(2)当且
时,当最后
位是
时,前
个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即
和
,共有
种可能.当最后
位是
时,若最后
位是
,且前
位形成的字符串中是子串“
”在第
位出现的字符串,此时不满足条件.可得
且
,
,
,然后利用数学归纳法证明
是
的倍数,即可求得答案.
(1) 在
位数字符串中,子串“
”在第
位出现有且只有
个,即
,
.
在
位数字符串中,子串“
”在第
位出现有
个,即
与
,
(2)当且
时,
当最后位是
时,前
个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即
和
,
共有
种可能.
当最后
位是
时,若最后
位是
,且前
位形成的字符串中是子串“
”在第
位出现的字符串,此时不满足条件.
且
.
,
.
下面用数学归纳法证明是
的倍数.
①当时,
是
的倍数;
②假设当时,
是
的倍数,
当时,
是
的倍数,且
也是
的倍数,
是
的倍数.
即当时,
是
的倍数.
由①,②可知,对任意的正整数,
是
的倍数.
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【题目】设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x1∈D,总存在x2∈D,使得f(x1)f(x2)=1,则称函数f(x)具有性质M.下列结论:①函数y=x3﹣x具有性质M;②函数y=3x+5x具有性质M;③若函数y=log8(x+2),x∈[0,t]时具有性质M,则t=510;④若y具有性质M,则a=5.其中正确结论的序号是_____.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶如图所示.
(Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定;
(Ⅱ)若从乙车间件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过
克的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设各项均为正数的数列的前
项和为
,已知
,且
对一切
都成立.
(1)当时.
①求数列的通项公式;
②若,求数列
的前
项的和
;
(2)是否存在实数,使数列
是等差数列.如果存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆C:(
)的左右焦点分别为
,
,离心率为
,椭圆C上的一点P到
,
的距离之和等于4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设,过椭圆C的右焦点
的直线与椭圆C交于A,B两点,若满足
恒成立,求m的最小值.
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